题目

一条河宽1千米，两岸各有一座城市A与B，A与B的直线距离是4千米，今需铺设一条要电缆线连接A与B．已知地下电缆的修建费是2万元/千米，水下电缆的修建费是4万元/千米，假设河两岸是平行的直线（没有弯曲），问应如何铺设电缆方可使总施工费用最少？ 答案：解：如题图所示，AD是水下电缆，DB是地下电缆.作AC⊥BD，AC=1，AB=4，则BC=，设∠CAD=θ，则θ∈(0，arccos).∵AD= =secθ，BD=BC-CD=-tanθ，依题意，由A、B铺设电缆的总费用为y=4secθ+2（-tanθ）=+2.设μ=（μ＞0），则2sinθ+μcosθ=4.∴sin（θ+φ）=φ=arctan.∵ sin（θ+φ）≤1.∴≥4，解得μ≥2.∴ymin=2+2.此时φ=arctan=，θ=，BD=-.因此，水下电缆应从距B城(-)千米处向A城铺设，总施工费用最少.

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