题目

如图，BD为四边形ABCD的对角线，BC=AD，∠A=∠CBD，∠ABD=120°，AB=3，CD=，则BC的长为_____________. 答案：7 【解析】如图，过点D作DE//BA，并且使DE=BD，连接BE，AE，过点B作BF⊥DE于点F，过点A作AG⊥DE于点G，则四边形ABFG是矩形，从而有FG=AB=3，AG=BF，通过证明△ADE≌△CBD，可得AE=CD=，根据已知易得△BDE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得DF=BD，BF=BD，在Rt△AEG中，利用勾股定理可求得BD=5，从而得AG=，DG=，在Rt△ADG中，根据勾股定理求得AD长即可得答案. 【详解】如图，过点D作DE//BA，并且使DE=BD，连接BE，AE，过点B作BF⊥DE于点F，过点A作AG⊥DE于点G，则四边形ABFG是矩形， ∴FG=AB=3，AG=BF， ∵AB//DE，∴∠ADE=∠BAD， ∵∠BAD=∠CBD， ∴∠ADE=∠CBD， 又∵DE=BD，AD=BC， ∴△ADE≌△CBD， ∴AE=CD=， ∵∠ABD=120°，DE//AB， ∴∠BDE=60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴DF=BD，BF=BD， 在Rt△AEG中， AE2=AG2+EG2，EG=DF+FG-DE=BD+3-BD=3-BD， ∴， ∴BD=5或BD=-2（舍去）， ∴AG=，DG=DF+FG=+3=， 在Rt△ADG中，AD2=AG2+DG2=（）2+（）2=49， ∴AD=7， ∴BC=7， 故答案为：7. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理的应用等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线灵活应用相关知识是解题的关键.

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