题目

（本小题满分12分） 　　　已知函数。 　　（Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3，若点 (n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点（n, Sn）也在y=f′(x)的图象上； 　　（Ⅱ）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值。 答案：（Ⅰ）证明见解析。 （Ⅱ）当,此时无极小值； 当的极小值为,此时无极大值； 当既无极大值又无极小值。 解析:(Ⅰ)证明：因为所以′(x)=x2+2x,     由点在函数y=f′(x)的图象上, 又所以     所以,又因为′(n)=n2+2n,所以,     故点也在函数y=f′(x)的图象上. (Ⅱ)解:, 由得. 当x变化时,﹑的变化情况如下表: x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 注意到,从而 ①当,此时无极小值； ②当的极小值为,此时无极大值； ③当既无极大值又无极小值。

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