题目

有限数列…，同时满足下列两个条件： ①对于任意的； ②对于任意的三个数中至少有一个数是数列中的项。 （Ⅰ）若，且，求a的值； （Ⅱ）证明：2，3，5不可能都是数列中的项； （Ⅲ）求n的最大值。 答案： 解：（Ⅰ）由①，得， 由②，当时，，12中至少有一个是数列1，2，a，6中的项，但，故，解得a。 经检验，当时，符合题意。 （Ⅱ）假设2，3，5是数列中的项，由②可知：6，10，15中至少有一个是数列中的项，则有限数列的最后一项，且。 由①，， 对于数，由②可知：；对于数，由②可知：。 所以，这与①矛盾， 所以2，3，5不可能是数列中的项。 （Ⅲ）n的最大值为9，证明如下： （1）令，则符合①、②。 （2）设…符合①、②，则： （i）中至多有三项，其绝对值大于1， 假设中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设是中绝对值最大的四项，其中。则对有，故均不是数列中的项，即是数列中的项。 同理：也是数列中的项。 但， 所以， 所以，这与①矛盾。 （ii）中至多有三项，其绝对值大于0且小于1， 假设中至少有四项，其绝对值大于0且小于1，类似（i）得出矛盾。 （iii）中至多有两项绝对值等于1。 （iv）中至多有一项等于0。 综合（i），（ii），（iii），（iv）可知中至多有9项。 由（1），（2）可得，n的最大值为9。

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