题目

如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC（AB＞AE）【小题1】△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；【小题2】设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由 答案：【小题1】如图，是相似．延长FE，与CD的延长线交于点G．在Rt△AEF与Rt△DEG中，∵　E是AD的中点，∴　AE＝ED．∵　∠AEF＝∠DEG，∴　△AFE≌△DGE．∴　∠AFE＝∠DGE．∴　E为FG的中点．又　CE⊥FG，∴　FC＝GC．∴　∠CFE＝∠G．∴　∠AFE＝∠EFC．又　△AEF与△EFC均为直角三角形，∴　△AEF∽△EFC．【小题2】存在．如果∠BCF＝∠AEF，即k＝＝时，△AEF∽△BCF．证明：当＝时，＝，∴　∠ECG＝30°．∴　∠ECG＝∠ECF＝∠AEF＝30°．∴　∠BCF＝90°－60°＝30°．又　△AEF和△BCF均为直角三角形，∴　△AEF∽△BCF．因为EF不平行于BC，∴　∠BCF≠∠AFE．∴　不存在第二种相似情况解析:略

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