题目

在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为BB1中点． （Ⅰ）证明：AC⊥D1E； （Ⅱ）求DE与平面AD1E所成角的正弦值； （Ⅲ）在棱AD上是否存在一点P，使得BP∥平面AD1E？若存在，求DP的长；若不存在，说明理由． 　 答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质． 【专题】空间位置关系与距离；空间角． 【分析】（I）利用线面垂直的判定定理，证明AC⊥平面BB1D1D，即可得到AC⊥D1E； （Ⅱ）建立空间直角坐标系，确定面AD1E的法向量，利用向量的夹角公式，即可求DE与平面AD1E所成角的正弦值； （Ⅲ）利用BP∥平面AD1E，可得，利用向量的数量积公式，可得结论． 【解答】（Ⅰ）证明：连接BD ∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，∴D1D⊥平面ABCD， 又AC⊂平面ABCD，∴D1D⊥AC…1分 在长方形ABCD中，AB=BC，∴BD⊥AC…2分 又BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BB1D1D，…3分 而D1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥D1E…4分 （Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系Dxyz，则A（1，0，0），D1（0，0，2），E（1，1，1），B（1，1，0）， ∴…5分 设平面AD1E的法向量为，则，即 令z=1，则…7分     ∴…8分 ∴DE与平面AD1E所成角的正弦值为…9分 （Ⅲ）解：假设在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面AD1E． 设P的坐标为（t，0，0）（0≤t≤1），则 ∵BP∥平面AD1E ∴，即， ∴2（t﹣1）+1=0，解得，…12分 ∴在棱AD上存在一点P，使得BP∥平面AD1E，此时DP的长．…13分． 【点评】本题考查线面垂直，考查线面角，考查线面平行，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题． 　

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