题目

函数，． （Ⅰ）讨论的极值点的个数； （Ⅱ）若对于，总有.（i）求实数的范围； （ii）求证：对于，不等式成立． 答案：解： （Ⅰ）解法一：由题意得， 令      （1）当，即时，对恒成立 即对恒成立，此时没有极值点；…………2分 （2）当，即        ①时，设方程两个不同实根为，不妨设        则，故        ∴时；在时        故是函数的两个极值点. ②时，设方程两个不同实根为，        则，故        ∴时，；故函数没有极值点.   ……………………………4分    综上，当时，函数有两个极值点；         当时，函数没有极值点.       ………………………………………5分 解法二：,                 …………………………………………1分 , ①当，即时，对恒成立，在单调增，没有极值点；        ……………………………………………………………3分     ②当，即时，方程有两个不等正数解， 不妨设，则当时，增；时，减；时，增，所以分别为极大值点和极小值点，有两个极值点. 综上所述，当时，没有极值点； 当时，有两个极值点. ………………………………5分 （Ⅱ）（i）， 由，即对于恒成立，设， ， ，时，减，时，增， ，．               ……………………………………9分 （ii）由（i）知，当时有，即：，……①当且仅当时取等号, ……………………………10分 以下证明：，设，， 当时减，时增， ，，……②当且仅当时取等号； 由于①②等号不同时成立，故有.……………………………12分

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