题目

已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AC=BC，点D是AB的中点． （Ⅰ）求证：BC1∥平面CA1D； （Ⅱ）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=，求三棱锥B1﹣A1DC的体积． 　 答案：【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE，只要证明DE∥BC1； （2）求出CD⊥面AA1B1B，得到CD是棱锥的高，利用棱锥的体积公式解答． 【解答】（Ⅰ）证明：连接AC1交A1C于点E，连接DE 因为四边形AA1C1C是矩形，则E为AC1的中点 又D是AB的中点，DE∥BC1， 又DE⊂面CA1D，BC1⊄面CA1D， 所以BC1∥面CA1D； （2）解：AC=BC，D是AB的中点，AB⊥CD， 又AA1⊥面ABC，CD⊂面ABC，AA1⊥CD， AA1∩AB=A，CD⊥面AA1B1B，CD⊂面CA1D， 平面CA1D⊥平面AA1B1B所以CD是三棱锥B1﹣A1DC的高， 又=， 所以=×AD==1； 【点评】本题考查了三棱柱中线面平行的判断以及棱锥的体积的求法，关键是转化为线线平行的判断以及棱锥的高的求法． 　

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