题目

给出四个等式：        1＝1 1－4＝－(1＋2) 1－4＋9＝1＋2＋3 1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4) ……　　　　　　　　　　　 （1）写出第5,6个等式，并猜测第n(n∈N*)个等式 （2）用数学归纳法证明你猜测的等式． 答案： [解析]　 第5行  1-4+9-16+25=1+2+3+4+5-----------------------------------------2分 第6行  1-4+9-16+25-36=-（1+2+3+4+5+6）-------------------------------4分 第n行等式为： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1 ·(1＋2＋3＋…＋n)．-------------6分 证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0×＝1，左边＝右边，等式成立．--------------------8分 (2)假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·. 则当n＝k＋1时， 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k(k＋1)· ＝(－1)k·. ∴当n＝k＋1时，等式也成立 根据(1)、(2)可知，对于任何n∈N*等式均成立．--------------------------12分

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