题目

（本小题12分） 下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图．     （Ⅰ）若为的中点，求证：面;     （Ⅱ）证明面;     （Ⅲ）求面与面所成的二面角（锐角）的余弦值．   答案：答案 解: （Ⅰ）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形,PA⊥面ABCD, PA∥EB，PA=2EB=4．∵PA=AD,F为PD的中点，　 ∴PD⊥AF， 又∵CD⊥DA,CD⊥PA,PA∩DA=A，　 ∴CD⊥面ADP, ∴CD⊥AF．又CD∩DP=D,　∴AF⊥面PCD．    ------------- 4分    （Ⅱ）取PC的中点M,AC与BD的交点为N，连结MN， ∴MN=PA，MN∥PA， ∴MN=EB,MN∥EB，故四边形BEMN为平行四边形， ∴EM∥BN，又EM面PEC,∴BD∥面PEC．        -------------7分    （Ⅲ）分别以BC,BA,BE为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则C( 4,0,0)，D(4 ,4 , 0)，E(0,0,2)，A(0,4 ,0)，P(0,4,4)， ∵F为PD的中点，∴F(2,4,2)． ∵AF⊥面PCD，∴为面PCD的一个法向量， =(－2,0,－2)，设平面PEC的法向量为=(x,y ,z)， 则,   ∴,令x=1,∴,      -------------10分 ∴ ∴与的夹角为． 面PEC与面PDC所成的二面角（锐角）的余弦值为．        -------------12分

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