题目

如图，E为正方形ABCD的边BC上一动点，以AE为一边作正方形AEFD，对角线AF交边CD于H，连EH． ①BE+DH=EH；②EF平分∠HEC；③若E为BC的中点，则H为CD的中点；④． 其中正确的是（　　） 　   A． ①②④              B． ①③④                    C． ①②③                    D． ①②③④ 　 答案：A 考点：    四边形综合题． 分析：    延长CB到M，使BM=DH，连接AM，由四边形ABCD，AEFG是正方形，得到∠EAF=45°，∠DAB=90°，AD=AB，推出△AMB≌△ADH，于是得到∠1=∠3，AM=AH，得出△AMB≌△ADH，于是得到ME=EH，∠AEB=∠AEH，由于BE+BM=EH，即可得到BE+DH=EH；故①正确；由于∠AEF=90°，于是得到∠AEH+∠HEF=AEB+∠FEC=90°，于是得到∠HEF=∠FEC，得到故②正确；当若E为BC的中点，H为CD的中点时，得到BE=CE，DH=CH，由于BE+DH=EH，而CE+CH＞EH，故③错误；根据BE+DH=EH，于是得到（BE+DH）2=EH2=CE2+CH2，通过化简得到2BE•DH=2BC2﹣2BC•BE﹣2BC•DH ①，根据S正方形ABCD=2S△AME+S△CEH，于是得到BC2=2×（BE+BM）•BC+CE•CH ②，把②代入①得：2BE•DH=CE•CH，即可得到，故④正确． 解答：    解：延长CB到M，使BM=DH，连接AM， ∵四边形ABCD，AEFG是正方形， ∴∠EAF=45°，∠DAB=90°，AD=AB， ∴∠1+∠2=45°， 在△AMB与△ADH中，， ∴△AMB≌△ADH， ∴∠1=∠3，AM=AH， ∴∠2+∠3=45°， ∴∠MAE=∠HAE， 在△AME与△AHE中，， ∴△AMB≌△ADH， ∴ME=EH，∠AEB=∠AEH， ∴BE+BM=EH， 即BE+DH=EH；故①正确； ∵∠AEF=90°， ∴∠AEH+∠HEF=AEB+∠FEC=90°， ∵∠AEB=∠AEH， ∴∠HEF=∠FEC， ∴EF平分∠HEC；故②正确； 当若E为BC的中点，H为CD的中点时， ∴BE=CE，DH=CH， ∵BE+DH=EH， 而CE+CH＞EH，故③错误； ∵BE+DH=EH， ∴（BE+DH）2=EH2=CE2+CH2， ∴BE2+2BE•DH+DH2=（BC﹣BE）2+（CD﹣DH）2， ∵BC=CD， ∴BE2+2BE•DH+DH2=BC2﹣2BC•BE+BE2+BC2﹣2BC•DH+DH2， 2BE•DH=2BC2﹣2BC•BE﹣2BC•DH ①， ∵S正方形ABCD=2S△AME+S△CEH， 即BC2=2×（BE+BM）•BC+CE•CH ②， 把②代入①得：2BE•DH=CE•CH， ∴，故④正确； ∴正确的是①②④， 故选A． 点评：    本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，勾股定理，三角形的面积，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 　

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