题目

如图，直角三角形ABC的顶点坐标A(－2，0)，直角顶点B（0，－2），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点． （Ⅰ）求BC边所在直线方程； （Ⅱ）M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程； （Ⅲ）若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程．   答案：（Ⅰ）∵kAB=－，AB⊥BC，∴kCB=，　　……………………………………………………2分 ∴直线BC方程为:y=x－2．         …………………………………………………4分 （Ⅱ）直线BC与x轴交于C,令y=0，得C(4，0)，∴圆心M（1，0），………………………7分 又∵AM=3，∴外接圆的方程为．      …………………………………10分 （Ⅲ）∵P(－1，0)，M(1，0)， ∵圆N过点P(－1，0)，∴PN是该圆的半径． 又∵动圆N与圆M内切，∴MN=3－PN，即MN+ PN=3．    ……………………………12分 ∴点N的轨迹是以M、P为焦点，长轴长为3的椭圆，      ……………………………13分 ∴a=，c=1，b2=a2－c2=，∴轨迹方程为．  …………………………………14分

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