题目

如图甲，在直角梯形PBCD中，PB∥CD， CD⊥BC，BC＝PB＝2CD，A是PB的中点． 现沿AD把平面PAD折起，使得PA⊥AB（如图乙所示），E、F分别为BC、AB边的中点． （1）求证：平面PAE⊥平面PDE； （2）在PE上找一点Q，使得平面BDQ⊥平面ABCD． （3）在PA上找一点G，使得FG∥平面PDE． 答案： 解：（1）证明：因为PA⊥AD， PA⊥AB， ABAD＝A， 所以PA⊥平面ABCD．因为BC＝PB＝2CD， A是PB的中点， 所以ABCD是矩形， 又E为BC边的中点，所以AE⊥ED． 又由PA⊥平面ABCD， 得PA⊥ED， 且PAAE＝A， 所以ED⊥平面PAE， 而ED平面PDE，故平面PAE⊥平面PDE． （2）当PQ=2QE时，平面BDQ⊥平面ABCD．                                      （3）过点F作FH∥ED交AD于H，再过H作GH∥PD交PA于G， 连结FG． 由FH∥ED， ED平面PED， 得FH∥平面PED； 由GH∥PD，PD平面PED，得GH∥平面PED， 又FHGH＝H，所以平面FHG∥平面PED．所以FG∥平面PDE． 再分别取AD、PA的中点M、N，连结BM、MN， 易知H是AM的中点，G是AN的中点， 从而当点G满足AG＝AP时，有FG∥平面PDE．

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