题目

试通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决下列问题： 如图，已知四边形ABCD和BCEF均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BF，且∠BCD=∠BCE=90°，平面ABCD⊥平面PCEF，BC=CD=CE=2AD=2BF=2 （Ⅰ）证明：AF∥平面BDE （Ⅱ）求锐二面角A﹣DE﹣B的余弦值． 答案：证明：（Ⅰ）∵平面ABCD⊥平面BCEF，平面ABCD∩平面BCEF=BC， CE⊥BC，CE⊂平面BCEF，∴EC⊥平面ABCD， ∴EC、BC、CD两两垂直， 以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系， 则B（0，2，0），D（2，0，0），E（0，0，2），A（2，1，0），F（0，2，1）， 设平面BDE的法向量=（x，y，z）， =（0，2，﹣2），=（2，0，﹣2）， 则，取x=1，得=（1，1，1）， =（﹣2，1，1），=0，∴， ∵AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE． （Ⅱ）设平面ADE的法向量=（a，b，c），平面ADE和平面BDE成锐二面角为θ， =（0，1，0），=（﹣2，0，2）， 则，取a=1，得=（1，0，1）， 由（Ⅰ）知平面BDE的法向量=（1，1，1）， ∴cosθ===， ∴锐二面角A﹣DE﹣B的余弦值为．

查看本题答案和解析