题目

如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，连接BE，F为BE中点，且AF=BF， （1）求证：四边形ABCD为矩形； （2）过点F作FG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，若BE=BC，S△BFG=5，CD=4，求CG． 　 答案：考点： 矩形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质． 分析： （1）求出∠BAE=90°，根据矩形的判定推出即可； （2）求出△BGE面积，根据三角形面积公式求出BG，得出EG长度，根据勾股定理求出GH，求出BE，得出BC长度，即可求出答案． 解答： （1）证明：∵F为BE中点，AF=BF， ∴AF=BF=EF， ∴∠BAF=∠ABF，∠FAE=∠AEF， 在△ABE中，∠BAF+∠ABF+∠FAE+∠AEF=180°， ∴∠BAF+∠FAE=90°， 又四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD为矩形； （2）解：连接EG，过点E作EH⊥BC，垂足为H， ∵F为BE的中点，FG⊥BE， ∴BG=GE， ∵S△BFG=5，CD=4， ∴S△BGE=10=BG•EH， ∴BG=GE=5， 在Rt△EGH中，GH==3， 在Rt△BEH中，BE==4=BC， ∴CG=BC﹣BG=4﹣5． 点评： 本题考查了矩形的判定，勾股定理，三角形的面积，线段垂直平分线性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目比较好，有一定的难度． 　

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