题目

在平面直角坐标系x0y中，已知点A（﹣，0），B（），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为﹣． （Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程； （Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l与曲线C相交于不同的两点M，N．若点P在y轴上，且|PM|=|PN|，求点P的纵坐标的取值范围． 答案：【考点】圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】（Ⅰ）设动点E的坐标为（x，y），由点A（﹣，0），B（），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为﹣，知，由此能求出动点E的轨迹C的方程． （Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣1），将y=k（x﹣1）代入，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，由题设条件能推导出直线MN的垂直平分线的方程为y+=﹣，由此能求出点P纵坐标的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）设动点E的坐标为（x，y）， ∵点A（﹣，0），B（），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为﹣， ∴， 整理，得，x≠， ∴动点E的轨迹C的方程为，x． （Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，满足条件的点P的纵坐标为0， 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）， 将y=k（x﹣1）代入，并整理，得 （2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0， △=8k2+8＞0， 设M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2=， 设MN的中点为Q，则，， ∴Q（，﹣）， 由题意知k≠0， 又直线MN的垂直平分线的方程为y+=﹣， 令x=0，得yP=， 当k＞0时，∵2k+，∴0＜； 当k＜0时，因为2k+≤﹣2，所以0＞yP≥﹣=﹣． 综上所述，点P纵坐标的取值范围是[﹣]． 【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查点的纵坐标的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与椭圆位置的综合运用． 　

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