题目

已知函数，为实数）有极值，且在处的切线与直线平行.    （Ⅰ）求实数a的取值范围；    （Ⅱ）是否存在实数a，使得函数的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；    （Ⅲ）设函数，试判断函数在上的符号， 并证明： 。 答案：已知函数，为实数）有极值，且在处的切线与直线平行.    （Ⅰ）求实数a的取值范围；    （Ⅱ）是否存在实数a，使得函数的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；    （Ⅲ）设函数，试判断函数在上的符号， 并证明： 。 解：（Ⅰ）         由题意                                             ②        由①、②可得，        故实数a的取值范围是             （Ⅱ）存在           由（1）可知，        ，且 + 0 － 0 + 单调增 极大值 单调减 极小值 单调增        ，                              的极小值为1 （Ⅲ）由 即 故， 则在上是增函数，故， 所以，在上恒为正。 （注：只判断符号，未说明理由的，酌情给分） 当时，，设，则 即，   上式分别取的值为1、2、3、……、累加得： ，（） ，（） ，（） ，（） 即，，（） 又当时，， 故，当且仅当时取等号。1

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