题目

如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证： （1）平面EFG∥平面ABC； （2）BC⊥SA． 　 答案：【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质． 【专题】空间位置关系与距离；立体几何． 【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”，证出F为SB的中点．从而得到△SAB和△SAC中，EF∥AB且EG∥AC，利用线面平行的判定定理，证出EF∥平面ABC且EG∥平面ABC．因为EF、EG是平面EFG内的相交直线，所以平面EFG∥平面ABC； （2）由面面垂直的性质定理证出AF⊥平面SBC，从而得到AF⊥BC．结合AF、AB是平面SAB内的相交直线且AB⊥BC，可得BC⊥平面SAB，从而证出BC⊥SA． 【解答】解：（1）∵△ASB中，SA=AB且AF⊥SB，∴F为SB的中点． ∵E、G分别为SA、SC的中点， ∴EF、EG分别是△SAB、△SAC的中位线，可得EF∥AB且EG∥AC． ∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， ∴EF∥平面ABC，同理可得EG∥平面ABC 又∵EF、EG是平面EFG内的相交直线， ∴平面EFG∥平面ABC； （2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB， AF⊂平面ASB，AF⊥SB． ∴AF⊥平面SBC． 又∵BC⊂平面SBC，∴AF⊥BC． ∵AB⊥BC，AF∩AB=A，∴BC⊥平面SAB． 又∵SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA． 【点评】本题在三棱锥中证明面面平行和线线垂直，着重考查了直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．

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