题目

如图，在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E． （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点C，若AC•AB=12，求AC的长． 答案：【考点】MD：切线的判定；KQ：勾股定理；M2：垂径定理；MA：三角形的外接圆与外心． 【分析】（1）连接CD，如图，利用圆周角定理得到∠CAD+∠D=90°，再∠D=∠PBA，加上∠PAC=∠PBA，所以∠PAD=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论； （2）证明△ACG∽△ABC，再利用相似比得到AC2=AG•AB=12，从而得到AC=2． 【解答】（1）证明：连接CD，如图， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD=90°， ∴∠CAD+∠D=90°， ∵∠PAC=∠PBA， ∠D=∠PBA， ∴∠CAD+∠PAC=90°，即∠PAD=90°， ∴PA⊥AD， ∴PA是⊙O的切线； （2）解：∵CF⊥AD， ∴∠ACF+∠CAF=90°，∠CAD+∠D=90°， ∴∠ACF=∠D， ∴∠ACF=∠B， 而∠CAG=∠BAC， ∴△ACG∽△ABC， ∴AC：AB=AG：AC， ∴AC2=AG•AB=12， ∴AC=2． 　

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