题目

函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定φ（A，B）=叫做曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题： ①函数y=x3﹣x2+1图象上两点A与B的横坐标分别为1，2，则φ（A，B）＞； ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A、B是抛物线y=x2+1上不同的两点，则φ（A，B）≤2； ④设曲线y=ex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，若t•φ（A，B）＜1恒成立，则实数t 的取值范围是（﹣∞，1）．以上正确命题的序号为（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 答案：A点】函数的图象． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】由新定义，利用导数逐一求出函数y=x3﹣x2+1、y=x2+1在点A与点B之间的“弯曲度”判断（1）、（3）；举例说明（2）正确；求出曲线y=ex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的“弯曲度”，然后结合t•φ（A，B）＜1得不等式，举反例说明（4）错误． 【解答】解析：①错：解：对于（1），由y=x3﹣x2+1，得y′=3x2﹣2x， 则kA=1，kB=8，则|kA﹣kB|=7 y1=1，y2=5，则|AB|=， φ（A，B）=，①错误； ②对：如y=1时成立； ③对：φ（A，B）===； ④错：对于（4），由y=ex，得y′=ex，φ（A，B）==． t•φ（A，B）＜1恒成立，即恒成立，t=1时该式成立，∴（4）错误． 故答案为：②③ 【点评】本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，考查了函数恒成立问题，关键是对题意的理解．

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