题目
一首项为正数的等差数列{an}中,S5=S13,试问:这个数列前多少项和最大?
答案:思路解析:利用等差数列前n项和公式求出Sn的函数表达式,再求该函数的最大值.解法一:∵S5=S13,∴5a1+×d=13a1+×d.整理,得d=-a1,而a1>0,则d<0.于是Sn=na1+d=na1+×(-a1)=-n.∴a1>0,-<0,∴当n=-=9时,Sn取得最大值.解法二:由等差数列前n项和Sn=an2+bn知,Sn是关于n的二次函数,且S5=S13,故二次函数图象的对称轴为n==9,故当n=9时,Sn取最大值.解法三:令Sn=an2+bn,由S5=S13得25a+5b=169a+13b,∴b+18a=0,b=-18a,又a1=S1=a+b>0,∴-18a+a>0,a<0,故Sn=an2-18an,而a<0,所以当n=--18a2·a=9时,Sn最大.解法四:∵a1>0,d<0,∴Sn有最大值.若前n项和最大,则应有8.5≤n≤9.5.故n=9时,Sn最大.解法五:由S5=S13知5a1+×d=13a1+×d,整理得2a1+17d=0,即a1+8d+a1+9d=0,也就是a9+a10=0.∵a1>0,d<0,∴a9>0,a10<0,所以S9最大.深化升华(1)以上五种解法,前三种都属于求函数Sn的最大值,只不过运用了三种不同的求最值的方法;后二种各有新意,思维独到,应仔细品味.(2)当等差数列的公差d<0时,数列是递减数列,若前n项都是正值,则其前n项和有最大值;当等差数列的公差d>0时,数列是递增数列,若前n项都是负值,则其前n项和有最小值.