题目

一首项为正数的等差数列｛an｝中，S5=S13，试问：这个数列前多少项和最大？ 答案：思路解析：利用等差数列前n项和公式求出Sn的函数表达式，再求该函数的最大值.解法一：∵S5=S13，∴5a1+×d=13a1+×d.整理,得d=-a1，而a1＞0，则d＜0.于是Sn=na1+d=na1+×(-a1)=-n.∴a1＞0，-＜0，∴当n=-=9时，Sn取得最大值.解法二：由等差数列前n项和Sn=an2+bn知，Sn是关于n的二次函数，且S5=S13，故二次函数图象的对称轴为n==9，故当n=9时，Sn取最大值.解法三：令Sn=an2+bn，由S5=S13得25a+5b=169a+13b，∴b+18a=0，b=-18a，又a1=S1=a+b＞0，∴-18a+a＞0，a＜0，故Sn=an2-18an，而a＜0，所以当n=--18a2·a=9时，Sn最大.解法四：∵a1＞0，d＜0，∴Sn有最大值.若前n项和最大，则应有8.5≤n≤9.5.故n=9时，Sn最大.解法五：由S5=S13知5a1+×d=13a1+×d，整理得2a1+17d=0，即a1+8d+a1+9d=0，也就是a9+a10=0.∵a1＞0，d＜0，∴a9＞0，a10＜0，所以S9最大.深化升华（1）以上五种解法，前三种都属于求函数Sn的最大值，只不过运用了三种不同的求最值的方法；后二种各有新意，思维独到，应仔细品味.（2）当等差数列的公差d＜0时，数列是递减数列，若前n项都是正值，则其前n项和有最大值；当等差数列的公差d＞0时，数列是递增数列，若前n项都是负值，则其前n项和有最小值.

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