题目

）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、 A（4，0）、B（3，）三点. （1）求此抛物线的解析式； （2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号） 答案：解：（1）设抛物线的解析式为：  由题意得：   ……………1分 解得： ………………2分 ∴抛物线的解析式为： ………………1分   （2）存在                                           （2）抛物线的顶点坐标是，作抛物线和⊙M（如图）， 设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B，与⊙M相切于点C 连接MC，过C作CD⊥ x 轴于D ∵ MC = OM = 2,  ∠CBM = 30°,  CM⊥BC ∴∠BCM = 90° ，∠BMC = 60° ，BM = 2CM = 4 ,   ∴B (-2, 0)                      在Rt△CDM中，∠DCM = ∠CDM - ∠CMD = 30° ∴DM = 1,   CD = =         ∴   C (1, ) 设切线 l 的解析式为:，点B、C在 l 上，可得：          解得：  ∴切线BC的解析式为： ∵点P为抛物线与切线的交点 由         解得：          ∴点P的坐标为：，     ………………4分 ∵ 抛物线的对称轴是直线 此抛物线、⊙M都与直线成轴对称图形 于是作切线 l 关于直线的对称直线 l′(如图) 得到B、C关于直线的对称点B1、C1 l′满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线的对称点：  ，即为所求的点. ………………4分

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