题目

如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD， PA=AD=2，BD=. （1）求证：BD⊥平面PAC； （2）求二面角P—CD—B余弦值的大小；   答案：证：（1）以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.………………1分 在Rt△BAD中，AD=2，BD=， ∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2， 0）， ∴   ………………3分 ∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC. …… 解：（2）由（1）得. 设平面PCD的法向量为，则， 即，∴  故平面PCD的法向量可取为 ………8分                              ∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量.           …………10分 设二面角P—CD—B的大小为，依题意可得 . …………12分    

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