题目

已知数列{an}满足a1=a,an+1=1+.我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列.如当a=1时，得到无穷数列：1、2、、……，当a=-时，得到有穷数列：-，-1，0.(1)求当a为何值时，a4=0.(2)设数列{bn}满足b1=-1,bn+1=(n∈N*).求证a取数列{bn}中的任一数，都可以得到一个有穷数列{an}.(3)若＜an＜2(n≥4),求a的取值范围. 答案：解析：(1)∵a4=0,∴1+=0,∴a3=-1. ∵a3=1+,∴a2=-.∵a2=1+,∴a=-.    故当a=-时，a4=0.(2)∵b1=-1,bn+1=,∴bn=+1.a取数列{bn}中的任一个数，不妨设a=bn,∵a=bn,∴a2=1+=1+=bn-1,∵a3=1+=1+=bn-2,…∴an=1+=1+=b1=-1,∴an+1=0.    故a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}.(3)要使＜an＜2,即＜1+＜2,∴1＜an-1＜2,∴要使＜an＜2,当且仅当它的前一项an-1满足1＜an-1＜2.∵（,2）(1,2),∴只须当a4∈(,2)时，都有an∈(,2)  (n≥5).    由a4=得，＜＜2.    解不等式组    故a＞0.

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