题目

如图，在四棱柱中，底面，，，且 ，点E在棱AB上，平面与棱相交于点F. （Ⅰ）证明：∥平面； （Ⅱ）若E是棱AB的中点，求二面角的余弦值； （Ⅲ）求三棱锥的体积的最大值. 答案：（Ⅰ）证明：因为是棱柱，所以平面平面. 又因为平面平面，平面平面， 所以∥.       又因为平面，平面， 所以∥平面.                                    （Ⅱ）解：因为底面，， 所以，，两两垂直，以A为原点，以，，分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系.   则，，， 所以 ,. 设平面的法向量为 由，,   得令,得.                                   又因为平面的法向量为，    所以， 由图可知，二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.                     （Ⅲ）解：过点F作于点, 因为平面平面，平面,所以平面, 所以                    . 因为当F与点重合时，取到最大值2（此时点E与点B重合）， 所以当F与点重合时，三棱锥的体积的最大值为. 

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