题目

20.已知i，m，n是正整数，且1<i≤m<n.Ⅰ.证明　ni<mi；Ⅱ.证明　(1+m)n>(1+n)m. 答案：20.本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力. 　Ⅰ.证明：对于1<i≤m,有=m……(m－i+1)，……， 同理　……，由于m＜n，对整数k=1，2，…，i－1，有＞，所以　＞，即mi＞ni. Ⅱ.证明：由二项式定理有(1＋m)n=，(1＋n)m=，由Ⅰ知mi＞ni(1＜i≤m＜n)，而　＝，＝，所以，mi＞ni(1＜i≤m＜n).因此，＞.又　m0=n0=1，m＝n=mn，mi＞0(m＜i≤n).所以　＞.即　(1＋m)n＞(1+n)m.

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