题目

(21)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1. (Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标. 答案：解：(Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为=1(a＞b＞0)，由已知得：a+c=3，a-c=1，∴a=2，c=1，∴b2=a2-c2=3.∴椭圆的标准方程为=1.(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0，又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=，因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点D(2，0)，∴kACkAD=-1，则= -1.∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0.∴+4=0.∴7m2+16mk+4k2=0.解得：m1=-2k，m2=，且均满足3+4k2-m2＞0.当m1=-2k时，l的方程为y=k(x-2)，直线过定点(2，0)，与已知矛盾；当m2=时，l的方程为y=k(x)，直线过定点(，0).所以，直线l过定点，定点坐标为(，0).

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