题目

已知f0（x）=xn，fk（x）=（1），其中k≤n（n，k∈N*），设F（x）=f0（x2）+f1（x2）+…+fk（x2）+…+fn（x2），x∈［-1，1］.（1）写出fk（1）；（2）证明：对任意的x1，x2∈［-1，1］，恒有|F（x1）-F（x2）|≤2n-1（n+2）-n-1. 答案：（1）解:由已知推得fk（x）=（n-k+1）·xn-k，从而有fk（1）=n-k+1. （2）证明:证法1：当-1≤x≤1时，F（x）=x2n+nx2（n-1）+（n-1）·x2（n-2）+…+（n-k+1）x2（n-k）+…+2nx2+1，当x＞0时，F′（x）＞0,所以F（x）在［0，1］上为增函数.因函数F（x）为偶函数，所以F（x）在［-1，0］上为减函数.所以对任意的x1，x2∈［-1，1］，|F（x1）-F（x2）|≤F（1）-F（0）.F（1）-F（0）==+n+（n-1）+…+（n-k+1）+…+2=nn+（n-1）+…+（n-k+1）·+…+2+=.∵（n-k+1）=（n-k）n+n=n+n（k=1，2，3…n-1），F（1）-F（0）=n（++…+）+（+…+n）+=n（2n-1-1）+2n-1=2n-1（n+2）-n-1.因此结论成立.证法2：当-1≤x≤1时，F（x）=x2n+nx2（n-1）+（n-1）·x2（n-2）+…+（n-k+1） x2（n-2）+…+2nx2+1，当x＞0时，F′（x）＞0，所以F（x）在［0，1］上为增函数.因函数F（x）为偶函数，所以F（x）在［-1，0］上为减函数.所以对任意的x1，x2∈［-1,1］,|F(x1)-F(x2)|＜F(1)-F(0).F(1)-F(0)= +n+(n-1)+…+(n-k+1)+…+2.又因F（1）-F（0）=2+3+…+k+…+nn+，所以2［F（1）-F（0）］=（n+2）［++…++…+］+2.F（1）-F（0）=+［++…++…+］+=（2n-2）+1=2n-1(n+2）-n-1.因此结论成立.证法3：当-1≤x≤1时，F（x）=x2n+nx 2（n-1）+（n-1）nx2（n-2）+…+（n-k+1）·x2（n-k）+…+2nx2+1，当x＞0时，F′(x)＞0,所以F（x）在［0，1］上为增函数.因函数F（x）为偶函数，所以F（x）在［-1，0］上为减函数.所以对任意的x1，x2∈［-1，1］，|F（x1）-F（x2）|≤F（1）-F（0）.F（1）-F（0）=+n+（n-1）+…+（n-k+1）+…+2x［（1+x）n-xn］=x［xn-1+xn-2+…+xn-k+…+x+1］=xn+xn-1+…+xn-k+1+…+x2+x，对上式两边求导得（1+x）n-xn+nx（1+x）n-1-nxn=nxn-1+（n-1）xn-2+…（n-k+1）·xn-k+…+2x+1.F（x）=（1+x2）n+nx2（1+x2）n-1-nx 2n，∴F（1）-F（0）=2n+n2n-1-n-1=（n+2）2n-1-n-1.因此结论成立.

查看本题答案和解析