题目

设函数，． （Ⅰ）求的单调区间和极值； （Ⅱ）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点． 答案：解：（Ⅰ）由，（）得 . 由解得. 与在区间上的情况如下： x     - 0    + 所以，的单调递减区间是，单调递增区间是； 在处取得极小值. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上的最小值为. 因为存在零点，所以，从而. 当时，在区间上单调递减，且， 所以是在区间上的唯一零点. 当时，在区间上单调递减，且，， 所以在区间上仅有一个零点. 综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.

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