题目

某工厂制造一批无盖圆柱形容器，已知每个容器的容积都是π立方米，底面半径都是r米.如果制造底面的材料费用为a元/平方米，制造侧面的材料费用为b元/平方米，其中＞1，设计时材料的厚度忽略不计. （1）试将制造每个容器的成本y（单位：元）表示成底面半径r（单位：米）的函数； （2）若要求底面半径r满足1≤r≤3（单位：米），则如何设计容器的尺寸，使其成本最低？ 答案：1）设每个容器的高为h米，则圆柱的体积为V＝πr2h＝π，即r2h＝1. 所以，制造成本y＝2πrhb＋πr2a＝(b＋r2a)π（r＞0）. （2）y'＝2π(ar－)，令y'＝0，则有r＝ . 列表得： r （0，） （，＋¥） y' － 0 ＋ y 单调递减 极小值 单调递增 （i）当≥3，即≥27，则函数y在[1,3]上单调递减， 所以当r＝3时，y取得最小值，此时底面半径应设计成3米. （ii）当1＜＜3，即1＜＜27，则函数y在[1,]上单调递减，在[,3]上单调递增， 所以当r＝时，y取得最小值，此时底面半径应设计成米. 综上，当≥27时，应将底面半径设计成3米；当1＜＜27时，应将底面半径设计成米. 【说明】考查圆柱体的体积及表面积的计算，利用导数解决函数在闭区间上的最值问题，分类讨论思想的运用，考查学生解决实际问题的能力.

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