题目

如图，已知一次函数y=的图象与x轴交于A点，与y轴交于B点：抛物线y=的图象余一次函数y=的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且点D的坐标为（1，0）． （1）求点B的坐标； （2）求该抛物线的解析式； （3）求四边形BDEC的面积S； （4）在x轴上是否存在点P，使得以点P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）在一次函数y=中，令x=0，即可求出点B的坐标； （2）将点B、D的坐标代入二次函数解析式，求出b、c的值，即可求出二次函数的解析式； （3）两解析式联立方程求得B、C的坐标，令y=x2﹣x+1=0，求得D、E的坐标，然后根据梯形和三角形的面积公式求得即可； （4）设P（x，0），求得PB2=x2+1，PC2=（x﹣4）2+9，BC2=42+（3﹣1）2=20，然后分三种情况分别讨论求得即可． 【解答】解：（1）∵一次函数y=与y轴的交点为B， 令x=0，可得y=1， ∴B（0，1）； （2）将B（0，1），D（1，0）的坐标代入y=x2+bx+c得， ， 解得：， ∴解析式为：y=x2﹣x+1； （3）∵二次函数的图象与一次函数的图象交于B、C两点， ∴， 解得：，， ∴C（4，3）， 解x2﹣x+1=0，得x=1和x=2， ∴D（1，0），E（2，0）， ∴S=（1+3）×4﹣×1×1﹣（4﹣2）×3=4.5； （4）设P（x，0）， ∵B（0，1），C（4，3）， ∴PB2=x2+1，PC2=（x﹣4）2+9，BC2=42+（3﹣1）2=20， ①当∠PBC=90°时，则PB2+BC2=PC2， 即x2+1+20=（x﹣4）2+9， 解得x=， ∴P1（，0）； ②当∠PCB=90°时，则PC2+BC2=PB2， 即x2+1=（x﹣4）2+9+20， 解得x=， ∴P2（，0）； ③当∠BPC=90°时，则PB2+PC2=BC2， 即x2+1+（x﹣4）2+9=20， 解得x=1或x=3， ∴P3（1，0），P4（3，0）； ∴在x轴上存在点P，使得以点P、B、C为顶点的三角形是直角三角形，点P的坐标为（，0）或（，0）或（1，0）或（3，0）． 【点评】本题是二次函数的综合题，涉及了利用待定系数法求二次函数的解析式、函数图象交点坐标、四边形的面积以及勾股定理的应用等知识，难度适中．

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