题目

设a1,a2,…,an是n个正数,证明,当且仅当a1=a2=…=an时等号成立. 答案：证法一：记G=,令bi=(i=1,2,…,n),则原不等式b1+b2+…+bn≥n,其中b1·b2·…·bn=1.取x1,x2,…,xn,使b1=,b2=,…,bn-1=,则bn=,由排序不等式易证b1+b2+…+bn=++…+≥n,当且仅当x1=x2=x3=…=xn时等号成立,∴原不等式成立,当且仅当a1=a2=…=an时等号成立.证法二：令ti=(i=1,2,…,n),则tn=1,∴正数序列t1,t2,…,tn及,,…,对应大小次序正好相反.∴n=t1·+t2·+…+tn·≤t1·+t2·+…+tn·,即n≤.∴G≤.∴当且仅当a1=a2=…=an时等号成立.

查看本题答案和解析