题目

设，函数f（x）的定义域为[0，1]且f（0）=0，f（1）=1当x≥y时有f（）=f（x）sinα+（1﹣sinα）f（y）． （1）求f（），f（）； （2）求α的值； （3）求函数g（x）=sin（α﹣2x）的单调区间． 答案：考点： 复合三角函数的单调性；抽象函数及其应用． 专题： 计算题． 分析： （1）根据f（）=f（）=f（1）sinα+（1﹣sinα）f（0），运算求得结果，再根据f（）=f（）=f（）sinα+（1﹣sinα）f（0），运算求得结果． （2）求出f（）=f（）=f（1）sinα+（1﹣sinα）f（）=2sinα﹣sin2α．同理求得f（）=3sin2α﹣2sin3α，再由sinα=3sin2α﹣2sin3α，解得sin α的值，从而求得α的值． （3）化简函数g（x）=sin（α﹣2x）=﹣sin（2x﹣），令 2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可得到g（x）的减区间．令 2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z， 求得x的范围，即可得到g（x）的增区间． 解答： 解：（1）f（）=f（）=f（1）sinα+（1﹣sinα）f（0）=sin α． f（）=f（）=f（）sinα+（1﹣sinα）f（0）=sin2α． （2）∵f（）=f（）=f（1）sinα+（1﹣sinα）f（）=sinα+（1﹣sinα）sinα=2sinα﹣sin2α． f（）=f（）=f（）sinα+（1﹣sinα）f（）=（2sinα﹣sin2α ）sinα+（1﹣sinα）sin2α=3sin2α﹣2sin3α， ∴sinα=3sin2α﹣2sin3α，解得sin α=0，或 sin α=1，或 sin α=． ∵，∴sin α=，α=． （3）函数g（x）=sin（α﹣2x）=sin（﹣2x）=﹣sin（2x﹣），令 2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，可得 kπ﹣≤x≤kπ+， 故函数g（x）的减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．  令 2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，可得 kπ+≤x≤kπ+，故函数g（x）的增区间为[kπ+，kπ+]，k∈z． 点评： 本题主要考查抽象函数的应用，复合三角函数的单调性，属于中档题．

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