题目

（本小题满分13分） 如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．    （1）求证：BD⊥FG；    （2）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD， 并说明理由．    （3）当二面角B—PC—D的大小为时，求PC与 底面ABCD所成角的正切值．       答案：（本题满分13分） 解：方法一：（I）面ABCD，四边形ABCD是正方形，        其对角线BD，AC交于点E，∴PA⊥BD，AC⊥BD             ∴BD⊥平面APC，平面PAC， ∴BD⊥FG                   …………3分    （II）当G为EC中点，即时，FG//平面PBD， …………4分        理由如下：        连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG//PE，        而FG平面PBD，PB平面PBD，      故FG//平面PBD．      …………7分    （III）作BH⊥PC于H，连结DH，        ∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，        ∴PB=PD，        又∵BC=DC，PC=PC，        ∴△PCB≌△PCD，        ∴DH⊥PC，且DH=BH，        ∴∠BHD主是二面角B—PC—D的平面角，   …………9分        即        ∵PA⊥面ABCD，        ∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角       ………10分        连结EH，则                             ∴PC与底面ABCD所成角的正切值是     …………12分     方法二解：以A为原点，AB，AD，PA所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，        设正方形ABCD的边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）     D（0，1，0），P（0，0，a）（a>0）,    （I）                   …………3分    （II）要使FG//平面PBD，只需FG//EP，        而，        由可得，解得                 …………6分               故当时，FG//平面PBD …………7分        设平面PBC的一个法向量为        则，而        ，取z=1，得，        同理可得平面PBC的一个法向量        设所成的角为0，        则        即                        …………10分        ∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，                    ∴PC与底面ABCD所成角的正切值是     …………12分

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