题目

用数学归纳法证明(1×22-2×32)+(3×42-4×52)+…+［(2n-1)(2n)2-2n(2n+1)2］=-n(n+1)(4n+3)(n∈N*). 答案：证明:(1)当n=1时,左边=1×22-2×32=-14,右边=-1×2×7=-14,等式成立.(2)假设当n=k时等式成立,即(1×22-2×32)+(3×42-4×52)+…+［(2k-1)(2k)2-2k(2k+1)2］=-k(k+1)(4k+3),则当n=k+1时,(1×22-2×32)+(3×42-4×52)+…+［(2k-1)(2k)2-2k(2k+1)2］+［(2k+1)(2k+2)2-(2k+2)(2k+3)2］=-k(k+1)(4k+3)-2(k+1)［(4k2+12k+9)-(4k2+6k+2)］=-k(k+1)(4k+3)-2(k+1)(6k+7)=-(k+1)(4k2+15k+14)=-(k+1)(k+2)(4k+7)=-(k+1)［(k+1)+1］［4(k+1)+3］.这说明当n=k+1时,等式也成立.由(1),(2)可知等式对n∈N*都成立.温馨提示用数学归纳法证明恒等式,关键是在证明n=k+1时命题成立.从n=k+1时的待证恒等式的一端“拼凑”出归纳假设恒等式的一端，再运用归纳假设即可.

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