题目

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C与底面ABC所成的角为，AB=BC=，∠ABC=，设E、F分别是AB、A1C的中点。  （1）求证：BC⊥A1E；  （2）求证：EF∥平面BCC1B1；  （3）求以EC为棱，B1EC与BEC为面的二面角正切值。 答案： 证法一：向量法 证法二：（I）由已知有BC⊥AB，BC⊥B1B，∴BC⊥平面ABB1A1 又A1E在平面ABB1A1内     ∴有BC⊥A1E （II）取B1C的中点D，连接FD、BD ∵F、D分别是AC1、B1C之中点, ∴FDA1B1BE ∴四边形EFBD为平行四边形    ∴EFBD 又BD平面BCC1B1    ∴EF∥面BCC1B1 （Ⅲ）过B1作B1H⊥CEFH，连BH，又B1B⊥面BAC，B1H⊥CE ∴BH⊥EC    ∴∠B1HB为二面角B1-EC-B平面角 在Rt△BCE中有BE=，BC=，CE=，BH= 又∠A1CA=      ∴BB1=AA1=AC=2    ∴tan∠B1HB=．

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