题目

如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4.E,F分别为棱AB,BC的中点，EF∩BD=G.（1）求证：平面BEF⊥平面BDD1B1；（2）求点D1到平面B1EF的距离d；（3）求三棱锥B1-EFD1的体积V. 答案：思路分析：先建立直角坐标系，再求出各点的坐标，用向量法求解，证明即可.解：（1）如图，以D为原点，DA、DC、DD1分别为x，y，z轴建立直角坐标系，依题意，有A(,0,0)，C(0,,0)，E(,,0)，F(,,0)，B1(,,4)，D1(0,0,4).设平面B1EF的法向量为n=(x，y，z)，由n⊥,n⊥,=(0,,-4)，=（，,0)，得∴x∶y∶z=1∶1∶()，n=（1，1，）.又平面BDD1B1的法向量=(,0)，∵n·=1×()+1×()+（）×0=0，∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.（2）∵=(,0)，∴平面B1EF的法向量n=（1，1，）.∴D1到平面B1EF的距离d=.（3）∵=(0,,-4),=(,0 ,-4)，∴cos〈，〉=.∴sin〈，〉=.∴S△BEF=||·||sin〈，〉=×18×，.

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