题目

.已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R. (1)试判断f(x)的奇偶性； （2）若-≤a≤，求f(x)的最小值. 答案：（1）f(x) 为非奇非偶函数（2）a2+1 解析: (1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x), 此时,f(x)为偶函数.当a≠0时，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1, f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时，f(x) 为非奇非偶函数. （2）当x≤a时,f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+, ∵a≤,故函数f(x)在（-∞，a］上单调递减， 从而函数f(x)在（-∞，a］上的最小值为f(a)=a2+1. 当x≥a时，函数f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+, ∵a≥-，故函数f(x)在［a，+∞）上单调递增，从而函数f(x)在［a，+∞)上的最小值为f(a)=a2+1. 综上得，当-≤a≤时，函数f(x)的最小值为a2+1.

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