题目

自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用xn表示某鱼群在第n年年初的总量,n∈N*,且x1＞0.不考虑其他因素,设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比,死亡量与xn2成正比,这些比例系数依次为正常数a、b、c.(1)求xn+1与xn的关系式；(2)猜测:当且仅当x1、a、b、c满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变？(不要求证明) 答案：解:(1)从第n年初到第n+1年初,鱼群的繁殖量为axn,被捕捞量为bxn,死亡量为cxn2,因此,xn+1-xn=axn-bxn-cxn2,n∈N*,(*)即xn+1=xn(a-b+1-cxn),n∈N*.(**)(2)若每年年初鱼群总量保持不变,则xn恒等于x1,n∈N*,从而由(*)式得xn(a-b-cxn)恒等于0,n∈N*,所以a-b-cx1=0,即x1=.因为x1＞0,所以a＞b.猜测:当且仅当a＞b,且x1=时,每年年初鱼群的总量保持不变.

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