题目

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2+bx+c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y＝﹣x2﹣x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点． （1）求抛物线L1对应的函数表达式； （2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标； （3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标． 答案：【解答】解：（1）将x＝2代入y＝﹣x2﹣x+2，得y＝﹣3，故点A的坐标为（2，﹣3）， 将A（2，﹣1），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得 ，解得， ∴抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3； （2）设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3）， 第一种情况：AC为平行四边形的一条边， ①当点Q在点P右侧时，则点Q的坐标为（x+2，﹣2x﹣3）， 将Q（x+2，﹣2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得 ﹣2x﹣3＝﹣（x+2）2﹣（x+2）+2， 解得，x＝0或x＝﹣1， 因为x＝0时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去， 此时点P的坐标为（﹣1，0）； ②当点Q在点P左侧时，则点Q的坐标为（x﹣2，x2﹣2x﹣3）， 将Q（x﹣2，x2﹣2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得 y＝﹣x2﹣x+2，得 x2﹣2x﹣3＝﹣（x﹣2）2﹣（x﹣2）+2， 解得，x＝3，或x＝﹣， 此时点P的坐标为（3，0）或（﹣，）； 第二种情况：当AC为平行四边形的一条对角线时， 由AC的中点坐标为（1，﹣3），得PQ的中点坐标为（1，﹣3）， 故点Q的坐标为（2﹣x，﹣x2+2x﹣3）， 将Q（2﹣x，﹣x2+2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得 ﹣x2+2x﹣3═﹣（2﹣x）2﹣（2﹣x）+2， 解得，x＝0或x＝﹣3， 因为x＝0时，点P与点C重合，不符合题意，所以舍去， 此时点P的坐标为（﹣3，12）， 综上所述，点P的坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（﹣，）或（﹣3，12）； （3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分∠PCR， 当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方， 过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T， 过点P作PH⊥TR于点H，则有∠PSC＝∠RTC＝90°， 由CA平分∠PCR，得∠PCA＝∠RCA，则∠PCS＝∠RCT， ∴△PSC∽△RTC， ∴， 设点P坐标为（x1，），点R坐标为（x2，）， 所以有， 整理得，x1+x2＝4， 在Rt△PRH中，tan∠PRH＝＝ 过点Q作QK⊥x轴于点K，设点Q坐标为（m，）， 若OQ∥PR，则需∠QOK＝∠PRH， 所以tan∠QOK＝tan∠PRH＝2， 所以2m＝， 解得，m＝， 所以点Q坐标为（，﹣7+）或（，﹣7﹣）．

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