题目

如图，AB是⊙O的弦，过B作BC⊥AB交⊙O于C，过C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，E为AD的中点，过E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长BC的延长线于点G （1）求证：FC=FG； （2）若BC=4，CG=6，求AB的长． 答案：【考点】MC：切线的性质；KQ：勾股定理． 【分析】（1）求出EF⊥AB，根据线段垂直平分线性质得出AF=DF，求出∠A=∠D，根据三角形内角和定理求出∠G=∠FCG，即可得出答案； （2）连接AC，求出∠G=∠CAD，根据相似三角形的判定得出△ABC∽△GBA，得出比例式，打扰求出即可． 【解答】（1）证明：∵EF∥BC，BC⊥AB， ∴EF⊥AB， ∵E为AD中点， ∴AF=DF， ∴∠A=∠D， ∵BC⊥AD， ∴∠ABC=∠CBD=90°， ∴∠A+∠G=∠D+∠DCB=90°， ∵∠FCG=∠BCD， ∴∠G=∠FCG， ∴FC=FG； （2）解：连接AC， ∵∠ABC=90°， ∴∠ACB+∠CAB=90°， ∵DF为切线， ∴∠ACD=90°， ∴∠ACB+∠DCB=90°， ∴∠CAB=∠BCD， ∵∠G=∠FCG=∠BCD， ∴∠CAB=∠G， ∵∠ABC=∠ABG， ∴△ABC∽△GBA， ∴=， ∴AB2=BC•GB=4×（4+6）=40， ∴AB==2． 　

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