题目

如图，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动.如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s.（1）求∠OAB的度数.（2）以OB为直径的⊙O‘与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O‘相切？（3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值.（4）是否存在△APQ为等腰三角形，若存在，求出相应的t值，若不存在请说明理由. 答案：解：（1）在Rt△AOB中： tan∠OAB= ∴∠OAB=30° （2）如图，连接O‘P，O‘M. 当PM与⊙O‘相切时，有∠PM O‘=∠PO O‘=90°，    △PM O‘≌△PO O‘ 由（1）知∠OBA=60° ∵O‘M= O‘B ∴△O‘BM是等边三角形 ∴∠B O‘M=60° 可得∠O O‘P=∠M O‘P=60° ∴OP= O O‘·tan∠O O‘P     =6×tan60°= 又∵OP=t ∴t=，t=3 即：t=3时，PM与⊙O‘相切. （3）如图9，过点Q作QE⊥x于点E    ∵∠BAO=30°，AQ=4t    ∴QE=AQ=2t    AE=AQ·cos∠OAB=4t× ∴OE=OA-AE=-t    ∴Q点的坐标为（-t，2t）    S△PQR= S△OAB -S△OPR -S△APQ -S△BRQ             =        =        =   （）    当t=3时，S△PQR最小=    （4）分三种情况：如图11. 当AP=AQ1=4t时， ∵OP+AP= ∴t+4t= ∴t= 或化简为t=-18 当PQ2=AQ2=4t时  过Q2点作Q2D⊥x轴于点D， ∴PA=2AD=2A Q2·cosA=t 即t+t = ∴t=2 当PA=PQ3时，过点P作PH⊥AB于点H  AH=PA·cos30°=（-t）·=18-3t AQ3=2AH=36-6t 得36-6t=4t， ∴t=3.6 综上所述，当t=2，t=3.6，t=-18时，△APQ是等腰三角形.

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