题目

如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF. (1)求证：直线PA为⊙O的切线； (2)求证：EF2＝4OD·OP； (3)若BC＝6，tanF＝，求AC的长.      答案：     （1）证明：如解图，连接OB，     第13题解图 ∵PB是⊙O的切线， ∴∠PBO＝90°， ∵OA＝OB，BA⊥PO于点D， ∴AD＝BD， ∴点D为AB的中点，即OP垂直平分AB， ∴∠APO＝∠BPO， ∵∠ADP＝∠BDP＝90°， ∴△APD≌△BPD， ∴AP＝BP， 在△PAO和△PBO中， ， ∴△PAO≌△PBO（SAS）， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°， ∵OA为⊙O的半径， ∴直线PA为⊙O的切线； (2)证明：∵∠PAO＝∠PDA＝90°， ∴∠OAD＋∠AOD＝90°，∠OPA＋∠AOP＝90°， ∴∠OAD＝∠OPA， ∴△OAD∽△OPA， ∴＝，即OA2＝OD·OP， 又∵EF＝2OA， ∴EF 2＝4OD·OP； (3)解：∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6， ∴OD＝BC＝3， 设AD＝x， ∴tanF＝＝＝， ∴DF＝2x，∴OA＝OF＝2x－3， 在Rt△AOD中，由勾股定理得 (2x－3)2＝x2＋32，解得x1＝4或x2＝0(不合题意，舍去)， ∴OA＝2x－3＝5， ∵AC为⊙O的直径， ∴AC＝2OA＝10.

查看本题答案和解析