题目

已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（﹣1，），直线y=kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）． （1）求该二次函数的解析式． （2）对（1）中的二次函数，当自变量x取值范围在﹣1＜x＜3时，请写出其函数值y的取值范围；（不必说明理由） （3）求证：在此二次函数图象下方的y轴上，必存在定点G，使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，并求△GAB面积的最小值． （注：在解题过程中，你也可以阅读后面的材料） 附：阅读材料    任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．    即：设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，    则：x1+x2=﹣，x1•x2=    能灵活运用这种关系，有时可以使解题更为简单．    例：不解方程，求方程x2﹣3x=15两根的和与积．    解：原方程变为：x2﹣3x﹣15=0 ∵一元二次方程的根与系数有关系：x1+x2=﹣，x1•x2= ∴原方程两根之和=﹣=3，两根之积==﹣15． 答案：（1）解：由于二次函数图象的顶点坐标为（0，1）， 因此二次函数的解析式可设为y=ax2+1． ∵抛物线y=ax2+1过点（﹣1，）， ∴=a+1． 解得：a=． ∴二次函数的解析式为：y=x2+1． （2）解：当x=﹣1时，y=， 当x=0时，y=1， 当x=3时，y=×32+1=， 结合图1可得：当﹣1＜x＜3时，y的取值范围是1≤y＜． （3）①证明：∵△ABG的内切圆的圆心落在y轴上， ∴GP平分∠AGB． ∴直线GP是∠AGB的对称轴． 过点A作GP的对称点A′，如图2， 则点A′一定在BG上． ∵点A的坐标为（x1，y1）， ∴点A′的坐标为（﹣x1，y1）． ∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y=kx+2上， ∴y1=kx1+2，y2=kx2+2． ∴点A′的坐标为（﹣x1，kx1+2）、点B的坐标为（x2，kx2+2）． 设直线BG的解析式为y=mx+n，则点G的坐标为（0，n）． ∵点A′（﹣x1，kx1+2）、B（x2，kx2+2）在直线BG上， ∴． 解得：． ∵A（x1，y1），B（x2，y2）是直线y=kx+2与抛物线y=x2+1的交点， ∴x1、x2是方程kx+2=x2+1即x2﹣4kx﹣4=0的两个实数根． ∴由根与系数的关系可得；x1+x2=4k，x1•x2=﹣4． ∴n==﹣2+2=0． ∴点G的坐标为（0，0）． ∴在此二次函数图象下方的y轴上，存在定点G（0，0），使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上． ②解：过点A作AC⊥OP，垂足为C，过点B作BD⊥OP，垂足为D，如图2， ∵直线y=kx+2与y轴相交于点P， ∴点P的坐标为（0，2）． ∴PG=2． ∴S△ABG=S△APG+S△BPG =PG•AC+PG•BD =PG•（AC+BD） =×2×（﹣x1+x2） =x2﹣x1 = = = =4． ∴当k=0时，S△ABG最小，最小值为4． ∴△GAB面积的最小值为4．

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