题目

已知函数f(x)定义在区间(-1，1)上，f()=-1，且当x，y∈(-1，1)时，恒有f(x)-f(y)=f()，又数列{an}满足a1=，an+1=，设bn=.(Ⅰ)证明：f(x)在(-1，1)上为奇函数；(Ⅱ)求f(an)的表达式；(Ⅲ)是否存在自然数m，使得对任意n∈N，都有bn＜成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由. 答案：答案：解：(1)令x=y=0，则f(0)=0，再令x=0，得f(0)-f(y)=f(-y)，所以f(-y)=-f(y)，y∈(-1，1)，故f(x)在(-1，1)上为奇函数.(Ⅱ)∵f(a1)=f()=-1，由(Ⅰ)知f(x)+f(y)=f()，∴f(an+1)=f()=f()=f(an)+f(an)=2f(an)，即=2，∴{f(an)}是以-1为首项，2为公比的等比数列，从而有f(an)=-2n-1.(10)先求bn的表达式，bn=-(1+若bn＜恒成立(n∈N+)，则-2+-2，即m＞∵n∈N+，∴当n=1时，有最大值4，故m＞4.又∵m∈N，∴存在m=5，使得对任意n∈N+，都有bn＜成立.

查看本题答案和解析