题目

 已知函数，. （Ⅰ）设曲线y= f(x)在点(1, f(1))处的切线为l，若l与圆x2+ (y-1)2=1相切，求k 的值 （2）若，且对于任意实数时,恒成立，试确定实数的取值范围； （3）设函数，求证： 答案： 解.（1）依题意有， = ex－k.                      ……（1分）         因此过点的直线的斜率为 e - k，又f(1)= e －k        所以，过点的直线方程为 y –(e －k)= (e －k)(x – 1)              即.(e －k) x – y = 0   ……………………………………………（2分） 又已知圆的圆心为(0,1)，半径为，依题意， 解得 ……………………………………………（4分）        （2）法一:   由得．        ①当时，．        此时在上单调递增．        故，符合题意．……………………………………………（6分）        ②当时，．        当变化时的变化情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 由此可得，在上，． 依题意，，又． 综合①，②得，实数的取值范围是．……………………………………（9分） 法二:(分离参数法)＞0 , 在x≥0恒成立 若 X=0时 ,k为任意实数……………………………………………（6分） 若 X﹥0时 , ＞0在x＞0恒成立 即k＜ex/x在x＞0恒成立,  再利导数法求出Q(x)=ex/x在x＞0上的最小值 Q(x)min= Q(1)=e  ∴0＜k＜e 实数的取值范围是……………………………………………（9分） （3）， ，…（11分） ，   由此得， 故．……………………………………（13分）

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