题目

如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝，O为BC的中点．将ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A′－BCDE，其中A′O＝. (1)证明：A′O⊥平面BCDE； (2)求二面角A′－CD－B的平面角的余弦值． 答案： (1)证明　在折叠前的图形中，等腰直角三角形ABC中， 因为BC＝6，O为BC的中点， 所以AC＝AB＝3，OC＝OB＝3， 又因为CD＝BE＝，所以AD＝AE＝2. 如图1，连接OD，在△OCD中，由余弦定理可得 OD＝＝. 在折叠后的图形中，因为AD′＝2， 所以A′O2＋OD2＝A′D2，所以A′O⊥OD. 同理可证A′O⊥OE，又OD∩OE＝O， 所以A′O⊥平面BCDE. 图3 (2)解　以O点为原点，建立空间直角坐标O－xyz，如图3所示． 则A′(0,0，)，C(0，－3,0)，D(1，－2，0)，所以＝(0,3，)， ＝(－1,2，)， 设平面A′CD的法向量n＝(x，y，z)， 解得y＝－x，且z＝x， 令x＝1，得n＝(1，－1，)． 所以二面角A′－CD－B的平面角的余弦值为.

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