题目

已知数列{an}前n项和为Sn，且Sn=2an-2(n=1，2，3，…)，数列{an}中，b1=1，点P(bn，bn+1)在直线x-y+2=0上.(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项an和bn；(Ⅱ)若Tn为数列{bn}的前n项和，求证：当n≥2，n∈ N*时，2Sn＞Tn+3n. 答案：(Ⅰ)∵Sn=2an-2,Sn-1=2an-1-2, 又Sn-Sn-1=an,(n≥2,n∈N*)∴an=2an-2an-1,∵an≠0∴=2,(n≥2,n∈N*),即数列{an}是等比数列∵a1=S1,∴a1=2a1-2,即a1=2,∴an=2n  ∵点P（bn,bn+1）在直线x-y+2=0上,∴bn-bn+1+2=0∴bn+1-bn=2,即数列{bn}是等差数列，又b1=1,∴bn=2n-1  (Ⅱ)由已知Sn==2n+1-2,Tn==n2即：证明不等式2n+2＞n2+3n+4,(n≥2,n∈N*)  用数学归纳法证明①当n=2时,2n+2=22+2=16,n2+3n+4=22+3·2+4=14不等式成立； ②假设当n=k(k≥2)时，原不等式成立,即:2k+2＞k2+3k+4成立那么当n=k+1时,2k+3＞2k2+6k+8∵k≥2,∴k2+k＞0,∴2k2+6k+8＞k2+5k+8=(k+1)2+3(k+1)+4即发n=k+1时，2(k+1)+2＞(k+1)2+3(k+1)+4成立综合①②可得原不等式成立

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