题目

若数列满足：是常数），则称数列为二阶线性递推数列，且定义方程为数列的特征方程，方程的根称为特征根； 数列的通项公式均可用特征根求得： ①若方程有两相异实根，则数列通项可以写成，（其中是待定常数）； ②若方程有两相同实根，则数列通项可以写成，（其中是待定常数）； 再利用可求得，进而求得． 根据上述结论求下列问题： （1）当，（）时，求数列的通项公式； （2）当，（）时，求数列的通项公式； （3）当，（）时，记，若能被数整除，求所有满足条件的正整数的取值集合． 答案：（1）    （2）  （3） 解析:（1）由可知特征方程为： ， …………………3分 所以 设  ，由得到， 所以   ； …………………6分 （2）由可以得到 设，则上述等式可以化为：…………………8分 ，所以对应的特征方程为： ，…………………10分 所以令   ，由可以得出 所以…………………11分 即  …………………12分 （3）同样可以得到通项公式………14分 所以   即     …………………14分 即   ，…………………16分 因此除以的余数，完全由除以的余数确定， 因为  所以  ， ，， ，， ，， ，， 由以上计算及可知，数列各项除以的余数依次是： 它是一个以为周期的数列，从而除以的余数等价于除以的余数，所以，， 即所求集合为：…………………18分

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