题目

 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x2+2x与x轴相交于O、B，顶点为A，连接OA．  (1)A的坐标              ，∠AOB=              。 (2)若将抛物线y=x2+2x向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线m，其顶点为点C．连接OC和AC，把△AOC沿OA翻折得到四边形ACOC′．试判断其形状，并说明理由；  (3)在(2)的情况下，判断点C′是否在抛物线y=x2+2x上，请说明理由；  (4)若点P为x轴上的一个动点，试探究在抛物线m上是否存在点Q，使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，且OC为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．  答案：（1）（-2，-2）；45°（2分）(2)四边形ACOC′为菱形．（1分）  由题意可知抛物线m的二次项系数为，且过顶点C的坐标是(2，﹣4)，  ∴抛物线的解析式为：y=(x﹣2)2﹣4，即y=x2﹣2x﹣2，（1分）  过点C作CE⊥x轴，垂足为E；过点A作AF⊥CE，垂足为F，与y轴交与点H，  ∴OE=2，CE=4，AF=4，CF=CE﹣EF=2，  ∴OC===2，  同理，AC=2，OC=AC，  由反折不变性的性质可知，OC=AC=OC′=AC′，  故四边形ACOC′为菱形．（1分）（共3分）  (3)如图1，点C′不在抛物线y=x2+2x上．（1分）  理由如下：  过点C′作C′G⊥x轴，垂足为G，  ∵OC和OC′关于OA对称，∠AOB=∠AOH=45°，  ∴∠COH=∠C′OG，  ∵CE∥OH，  ∴∠OCE=∠C′OG，  又∵∠CEO=∠C′GO=90°，OC=OC′，  ∴△CEO≌△C′GO，  ∴OG=4，C′G=2，  ∴点C′的坐标为(﹣4，2)，（1分）  把x=﹣4代入抛物线y=x2+2x得y=0，  ∴点C′不在抛物线y=x2+2x上；（1分）（共3分）  (4)存在符合条件的点Q．  ∵点P为x轴上的一个动点，点Q在抛物线m上，  ∴设Q(a，(a﹣2)2﹣4)，  ∵OC为该四边形的一条边，  ∴OP为对角线，  ∴=0，解得x1=6，x2=4，  ∴P(6，4)或(﹣2，4)(舍去)，  ∴点Q的坐标为(6，4)． （直接写出即可，2分，多写1个只得1分） 文澜中学的难度系数约0.76，全杭州市的难度系数约0.63

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