题目
如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=x2+2x与x轴相交于O、B,顶点为A,连接OA. (1)A的坐标 ,∠AOB= 。 (2)若将抛物线y=x2+2x向右平移4个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线m,其顶点为点C.连接OC和AC,把△AOC沿OA翻折得到四边形ACOC′.试判断其形状,并说明理由; (3)在(2)的情况下,判断点C′是否在抛物线y=x2+2x上,请说明理由; (4)若点P为x轴上的一个动点,试探究在抛物线m上是否存在点Q,使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形,且OC为该四边形的一条边?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:(1)(-2,-2);45°(2分)(2)四边形ACOC′为菱形.(1分) 由题意可知抛物线m的二次项系数为,且过顶点C的坐标是(2,﹣4), ∴抛物线的解析式为:y=(x﹣2)2﹣4,即y=x2﹣2x﹣2,(1分) 过点C作CE⊥x轴,垂足为E;过点A作AF⊥CE,垂足为F,与y轴交与点H, ∴OE=2,CE=4,AF=4,CF=CE﹣EF=2, ∴OC===2, 同理,AC=2,OC=AC, 由反折不变性的性质可知,OC=AC=OC′=AC′, 故四边形ACOC′为菱形.(1分)(共3分) (3)如图1,点C′不在抛物线y=x2+2x上.(1分) 理由如下: 过点C′作C′G⊥x轴,垂足为G, ∵OC和OC′关于OA对称,∠AOB=∠AOH=45°, ∴∠COH=∠C′OG, ∵CE∥OH, ∴∠OCE=∠C′OG, 又∵∠CEO=∠C′GO=90°,OC=OC′, ∴△CEO≌△C′GO, ∴OG=4,C′G=2, ∴点C′的坐标为(﹣4,2),(1分) 把x=﹣4代入抛物线y=x2+2x得y=0, ∴点C′不在抛物线y=x2+2x上;(1分)(共3分) (4)存在符合条件的点Q. ∵点P为x轴上的一个动点,点Q在抛物线m上, ∴设Q(a,(a﹣2)2﹣4), ∵OC为该四边形的一条边, ∴OP为对角线, ∴=0,解得x1=6,x2=4, ∴P(6,4)或(﹣2,4)(舍去), ∴点Q的坐标为(6,4). (直接写出即可,2分,多写1个只得1分) 文澜中学的难度系数约0.76,全杭州市的难度系数约0.63