题目

 如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=x2+2x与x轴相交于O、B,顶点为A,连接OA.  (1)A的坐标              ,∠AOB=              。 (2)若将抛物线y=x2+2x向右平移4个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线m,其顶点为点C.连接OC和AC,把△AOC沿OA翻折得到四边形ACOC′.试判断其形状,并说明理由;  (3)在(2)的情况下,判断点C′是否在抛物线y=x2+2x上,请说明理由;  (4)若点P为x轴上的一个动点,试探究在抛物线m上是否存在点Q,使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形,且OC为该四边形的一条边?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.  答案:(1)(-2,-2);45°(2分)(2)四边形ACOC′为菱形.(1分)  由题意可知抛物线m的二次项系数为,且过顶点C的坐标是(2,﹣4),  ∴抛物线的解析式为:y=(x﹣2)2﹣4,即y=x2﹣2x﹣2,(1分)  过点C作CE⊥x轴,垂足为E;过点A作AF⊥CE,垂足为F,与y轴交与点H,  ∴OE=2,CE=4,AF=4,CF=CE﹣EF=2,  ∴OC===2,  同理,AC=2,OC=AC,  由反折不变性的性质可知,OC=AC=OC′=AC′,  故四边形ACOC′为菱形.(1分)(共3分)  (3)如图1,点C′不在抛物线y=x2+2x上.(1分)  理由如下:  过点C′作C′G⊥x轴,垂足为G,  ∵OC和OC′关于OA对称,∠AOB=∠AOH=45°,  ∴∠COH=∠C′OG,  ∵CE∥OH,  ∴∠OCE=∠C′OG,  又∵∠CEO=∠C′GO=90°,OC=OC′,  ∴△CEO≌△C′GO,  ∴OG=4,C′G=2,  ∴点C′的坐标为(﹣4,2),(1分)  把x=﹣4代入抛物线y=x2+2x得y=0,  ∴点C′不在抛物线y=x2+2x上;(1分)(共3分)  (4)存在符合条件的点Q.  ∵点P为x轴上的一个动点,点Q在抛物线m上,  ∴设Q(a,(a﹣2)2﹣4),  ∵OC为该四边形的一条边,  ∴OP为对角线,  ∴=0,解得x1=6,x2=4,  ∴P(6,4)或(﹣2,4)(舍去),  ∴点Q的坐标为(6,4). (直接写出即可,2分,多写1个只得1分) 文澜中学的难度系数约0.76,全杭州市的难度系数约0.63
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